# Matlab 数据可视化深入解析

在这篇博客中，我们将探讨如何使用Matlab进行有效的数据可视化，重点是如何展示数据的同时保持图表的美观和清晰。我们将通过几个示例，展示不同的数据集和可视化技术。





### 双坐标绘图

以下Matlab代码展示了如何创建一个双坐标图表，用于对比展示“耦合效率”和“耦合损耗”。这种图表非常适合同时展示两组数据的变化趋势，而这两组数据的量纲或数值范围差异较大。

```python
x = [0 100 300 600 1000 1500];
y1 = [68.1 66.7 61.7 44.68 28.4 17.2];
y2 = [1.67 1.76 2.1 3.5 5.6 7.7];
hold on;
[AX, H1, H2] = plotyy(x, y1, x, y2, @plot);
set(get(AX(1), 'ylabel'), 'String', '耦合效率（%）', 'FontSize', 16);
set(get(AX(2), 'ylabel'), 'String', '耦合损耗（dB）', 'FontSize', 16);
xlabel('X容差（um）', 'FontSize', 16);
set(H1, 'LineStyle', '--');
set(H2, 'LineStyle', ':');
set(gcf, 'Color', 'white')
set(gca, 'LineWidth', 1.5)
```

![耦合效率与耦合损耗双坐标图](/static/img/images/01681.png)

### 波导高度与耦合损失关系

在下一个例子中，我们将观察不同波导高度对耦合损失的影响。通过绘制三条不同高度的氮化硅波导的耦合损失，我们可以比较哪种设计更优。

```python
clc, clear;
x1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
y1 = [2.46, 2.35, 2.25, 2.19, 2.13, 2.15];
h = plot(x1, y1, 'x-k', 'MarkerSize', 7, 'LineWidth', 1);
hold on;
x2 = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
y2 = [2.24, 2.21, 2.13, 1.98, 1.92, 2.01];
plot(x2, y2, 's-b', 'LineWidth', 1);
x3 = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
y3 = [2.31, 2.2, 2.12, 2.03, 1.97, 1.93];
plot(x3, y3, '.-m', 'MarkerSize', 20, 'LineWidth', 1);
legend("氮化硅波导高6um", "氮化硅波导高7um", "氮化硅波导高8um", "Location", "Northeast");
xlabel("RWG width（um）");
ylabel("Couple loss（dB）");
title("脊高1微米");
haxes = get(h, 'Parent');
set(haxes, 'XTick', (0:1:6), 'XTickLabel', ['1.0', '2.0', '3.0', '4.0', '5.0', '6.0']);
```

![波导高度与耦合损失](/static/img/images/01682.png)

### 图例位置解析

Matlab中的图例位置参数对于图表的最终展示非常关键。正确的图例位置可以避免与图表数据的重叠，同时确保图表的整体美观。以下是Matlab中可选的图例位置参数，供你在绘制图表时参考使用。

```c
'North', 'South', 'East', 'West',
'NorthEast', 'NorthWest', 'SouthEast', 'SouthWest',
'NorthOutside', 'SouthOutside', 'EastOutside', 'WestOutside',
'NorthEastOutside', 'NorthWestOutside', 'SouthEastOutside', 'SouthWestOutside',
'Best', 'BestOutside'
```

### 金属薄膜的光学特性

在这个例子中，我们使用Matlab来分析不同金属薄膜在不同膜厚下的光学特性。这可以帮助材料科学家和光学工程师更好地理解材料在实际应用中的表现。

```c
clc, clear;
x = [100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240];
y1 = [647, 771, 832, 914, 1000, 1204, 1300, 1398, 1470, 1601, 1666, 1722, 1808, 1897, 1960];
y2 = [989, 1021, 1057, 1080, 1109, 1127, 1188, 1210, 1227, 1236, 1242, 1240, 1228, 1219, 1210];
plot(x, y1, ':rs');
hold on;
plot(x, y2, '--b>');
title("p=330nm, w=100nm");
xlabel('膜厚t(nm)', 'FontSize', 12);
legend("Cr", "Al", 'Location', 'NorthWest');
```

![金属薄膜光学特性分析](/static/img/images/01683.png)

通过以上的示例和解析，我们可以看到，Matlab提供了强大的工具集，可以帮助我们从不同角度和深度分析数据。无论是科研还是工业应用，Matlab都是一个值得学习和掌握的工具。

MATLAB 实际的一些图 画图

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 习题3 A是一个五对角矩阵，R nxn，n=10,20,40时，使用J迭代法和SOR
% 迭代法（w=1,1.2,1.4,1.6,1.8）解方程组Ax=0，分析收敛速度。
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
clear
for mat_n=[10,20,40]                                           %循环3次，n=10,20,40
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 打印当前矩阵大小
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    disp("---------------------------------------------------------");
    fprintf(" 当前矩阵大小为 %d*%d\r\n",mat_n,mat_n);
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 构建矩阵A
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    a1(1,1:mat_n)=20;
    A1=diag(a1,0);
    a2(1,1:mat_n-1)=-8;
    A2_1=diag(a2,1);
    A2_2=diag(a2,-1);
    a3(1,1:mat_n-2)=1;
    A3_1=diag(a3,2);
    A3_2=diag(a3,-2);
    A=A1+A2_1+A2_2+A3_1+A3_2;
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % 构建初始迭代值
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    x0(1:mat_n,1)=1;
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % jacobi迭代法       %Ax=0精确解是x=0
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    D = diag(diag(A));                                            %求A的对角矩阵
    L = -tril(A,-1);                                                   %求A的下三角矩阵
    U = -triu(A,1);                                                  %求A的上三角矩阵
    B = D\(L+U);                                                    %由jacobi迭代法公式得来
    RB1=-log(vrho(B));                                          %计算渐近收敛速度
    fprintf(" jacobi 渐近收敛速度是 %.4f\r\n",RB1);
    x = B*x0;                                                         %迭代计算
    n = 1;                                                              %迭代次数赋值
    while norm(x,inf)>10^(-6)
        x0=x;                                                           %迭代赋值
        x = B*x0;                                                     %迭代计算
        n = n+1;                                                      %累加次数
        if n>1000                                                     %迭代次数大于1000跳出
            break;
        end
    end
    fprintf(" jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=%d\r\n",n);
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    % SOR迭代 w是omega       %Ax=0精确解是x=0
    % --------------------------------------------------------------------------------------------
    for w=[1,1.2,1.4,1.6,1.8]
        x0(1:mat_n,1)=1;                                         %构建初始迭代值
        B_sor=(D-L*w)\((1-w)*D+w*U);                     %与jacobi一样的DLU矩阵
        x_sor = B_sor*x0;                                        %迭代计算
        RB1=-log(vrho(B_sor));                                %计算渐近收敛速度
        fprintf("SOR渐近收敛速度是 %.4f\r\n",RB1);
        n_sor = 1;                                                    %迭代次数
        while norm(x_sor,inf)>10^(-6)
            x0=x_sor;                                                 %迭代赋值
            x_sor = B_sor*x0;                                     %迭代计算
            n_sor = n_sor+1;                                      %累加次数
            if n_sor>1000                                           %迭代次数大于1000跳出
                break;
            end
        end
        fprintf("SOR迭代 w=%.2f",w);
        fprintf(" 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=%d\r\n",n_sor);
    end
    clear
end
```

结果

```
>> Untitled
---------------------------------------------------------
 当前矩阵大小为 10*10
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1587
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=38
SOR渐近收敛速度是 0.8050
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=21
SOR渐近收敛速度是 1.3127
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=15
SOR渐近收敛速度是 0.8036
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=20
SOR渐近收敛速度是 0.4555
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=30
SOR渐近收敛速度是 0.2001
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=61
---------------------------------------------------------
 当前矩阵大小为 20*20
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1201
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=60
SOR渐近收敛速度是 0.7713
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=23
SOR渐近收敛速度是 1.2660
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=18
SOR渐近收敛速度是 0.7874
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=24
SOR渐近收敛速度是 0.4478
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=35
SOR渐近收敛速度是 0.1969
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=67
---------------------------------------------------------
 当前矩阵大小为 40*40
 jacobi 渐近收敛速度是 0.1092
 jacobi迭代完毕 满足要求所需最少迭代次数为 n=70
SOR渐近收敛速度是 0.7629
SOR迭代 w=1.00 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=23
SOR渐近收敛速度是 1.2517
SOR迭代 w=1.20 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=18
SOR渐近收敛速度是 0.7825
SOR迭代 w=1.40 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=27
SOR渐近收敛速度是 0.4454
SOR迭代 w=1.60 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=45
SOR渐近收敛速度是 0.1959
SOR迭代 w=1.80 满足要求所需最少迭代次数为 n_sor=76
```

MATLAB 五对角矩阵 Jacobi迭代法 SOR迭代法 解方程组

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% f(x)=(10/x)^2*sin(10/x);
% 取epsilon=10^(-4) ，计算[1,3]上的romberg积分
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
a = 1;
b = 3;
epsilon = 1e-4;
f = @(x)(10/x)^2*sin(10/x);  
[R,k,T] = aa(f,a,b,epsilon);%调用函数
fprintf("积分结果是    %f\r\n",R); %打印积分结果
fprintf("k=  %f\r\n",k); %打印迭代次数
disp(T); %打印T-表
function [R,k,T]=aa(fun,a,b,tol)
% 龙贝格(Romberg数值求解公式)
% inputs:
%   -fun：积分函数句柄
%   -a/b：积分上下限
%   -tol：积分误差
% Outputs:
%   -R：Romberg积分值
%   -k：迭代次数
%   -T：整个迭代过程
k=0; % 迭代次数
n=1; % 区间划分个数
h=b-a;
T=h/2*(fun(a)+fun(b)); %计算T(0,0)
err=1; %积分误差初始化
while err>=tol
    k=k+1;
    h=h/2;
    tmp=0;
    for i=1:n
        tmp=tmp+fun(a+(2*i-1)*h);
    end
    T(k+1,1)=T(k)/2+h*tmp; %外推算法
    for j=1:k
        T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1); %外推算法
    end
    n=n*2;
    err=abs(T(k+1,k+1)-T(k,k)); %更新积分误差
end
R=T(k+1,4);
end
```


结果

```
>> Untitled
积分结果是    -1.426025
k=  7.000000
  -56.5195         0         0         0         0         0         0         0
  -52.2329  -50.8040         0         0         0         0         0         0
  -23.8564  -14.3976  -11.9705         0         0         0         0         0
   -6.8278   -1.1516   -0.2685   -0.0828         0         0         0         0
   -2.6815   -1.2994   -1.3093   -1.3258   -1.3307         0         0         0
   -1.7327   -1.4164   -1.4242   -1.4260   -1.4264   -1.4265         0         0
   -1.5022   -1.4254   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260         0
   -1.4450   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260   -1.4260
```

matlab romberg积分 龙贝格积分

Matlab





```
clc,clear
x=[0,1,2,3,4];
%y=[0,0.075,0.086,0.052,0.0024];
y=[0,0.037,0.025,0.037,0];
scatter(x,y,'k');                                                      %画出原始数据散点图
hold on
duoxiangshi = polyfit(x,y,4); %3次拟合 降幂排列
disp(duoxiangshi);
xi = 0:0.001:4.0;
yi = polyval(duoxiangshi,xi);   %多项式求值
plot(xi,yi,'b');         %观测数据点
hold on
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('原始数据','拟合曲线');
```

结果

![在这里插入图片描述](/static/img/images/02781.png)

MATLAB 对试验点进行三次拟合

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 习题  对实验数据进行 lagrange 插值、三次样条插值
%          绘制出实验数据散点图，lagrange插值函数图，三次样条插值图
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 实验数据 x y 初始赋值，画出原始数据折线图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
clc,clear
x=[0.0 0.5 1.0 6.0 7.0 9.0];
y=[0.0 1.6 2.0 1.5 1.5 0.0];
scatter(x,y,'k');                                                      %画出原始数据散点图
hold on
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% lagrange插值过程
% --------------------------------------------------------------------------------------------
syms t;                                                                 %系统变量
n = length(x);                                                       %x长度
f = 0.0;                                                                %lagrange插值多项式初始化
for i = 1:n                                                            %循环计算基函数
    l = y(i);
    for j = 1:i-1                                                       %计算基函数某个项前面一截，i之前的
        l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
    end
    for j = i+1:n                                                      %计算基函数某个项后面一截，i之后的
        l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
    end
    f = f + l;                                                           %得出最后的lagrange插值多项式
    simplify(f);                                                       %化简多项式
    if(i==n)
        f = collect(f);                                                %合并同类项
        f = vpa(f,6);                                                  %截断表达
    end
end
disp("lagrange插值多项式结果：");  
disp(f);                                                                %打印最后的lagrange插值多项式
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 画图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
x0=linspace(0,9,200);
f0 = subs(f,'t',x0);
plot(x0,f0,'r');                                                       %画图
hold on
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 实验数据 x y 初始赋值
% --------------------------------------------------------------------------------------------
x=[0.0 0.5 1.0 6.0 7.0 9.0];
y=[0.0 1.6 2.0 1.5 1.5 0.0];
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 三次样条 插值过程
% --------------------------------------------------------------------------------------------
n = length(x);                                                       %计算长度
a = y(1 : end - 1);                                                 %插入n-1个
b = zeros(n - 1, 1);                                               % 三次样条插值函数的系数
d = zeros(n - 1, 1);
dx = diff(x);                                                          %计算剖分差距h
dy = diff(y);                                                          %计算剖分差距
A = zeros(n);
B = zeros(n, 1);
A(1, 1) = 1;                                                          %边界条件
A(n, n) = 1;                                                          %边界条件
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 构建系数矩阵A*c=B
% --------------------------------------------------------------------------------------------
for i = 2 : n - 1
    A(i, i - 1) = dx(i - 1);
    A(i, i) = 2*(dx(i - 1) + dx(i));
    A(i, i + 1) = dx(i);
    B(i) = 3*(dy(i) / dx(i) - dy(i - 1) / dx(i - 1));
end
c = A \ B;                                                             %计算c
% --------------------------------------------------------------------------------------------
% 三次样条插值函数的系数
% --------------------------------------------------------------------------------------------
for i = 1 : n - 1
    d(i) = (c(i + 1) - c(i)) / (3 * dx(i));
    b(i) = dy(i) / dx(i) - dx(i)*(2*c(i) + c(i + 1)) / 3;
end
% --------------------------------------------------------------------------------------------
%  将点带入插值公式计算结果
% --------------------------------------------------------------------------------------------
xx=linspace(0,9,200);
XISHU=zeros(1,4);                                               %  三次样条系数
[mm, nn] = size(xx);
yy = zeros(mm, nn);
for i = 1 : mm*nn                                                  %  计算每一个元素
    for ii = 1 : n - 1                                                 %  选取分段函数系数
        if xx(i) >= x(ii) && xx(i) < x(ii + 1)
            j = ii;
            break;
        elseif xx(i) == x(n)
            j = n - 1;
        end
    end
    yy(i) = a(j) + b(j)*(xx(i) - x(j)) + c(j)*(xx(i) - x(j))^2 + d(j)*(xx(i) - x(j))^3;%计算插值结果
    XISHU=[XISHU;[a(j) , b(j),c(j),d(j)]];
end
XISHU=unique(XISHU,'rows');                              %  分段函数系数
XISHU=XISHU(2:6,:);
disp("三次样条分段函数系数矩阵：");
disp(XISHU);
% --------------------------------------------------------------------------------------------
%  画三次样条图
% --------------------------------------------------------------------------------------------
plot(xx,yy,'b');
hold on
legend("原始数据","lagrange插值","三次样条插值");
title("插值结果图")%标题
```


结果：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/02782.png)

MATLAB lagrange插值 三次样条插值

Matlab





```
clear
% creat all input variable
disp('（1）中为A1   （2）中为A2');
A1 = [3.01,6.03,1.99;
        1.27,4.16,-1.23;
        0.987,-4.81,9.34];
A2 = A1;
A2(1,1) = 3.00;
A2(3,1) = 0.990;
b = [1,1,1]';
% display
disp('MAT A1 is ');
disp(A1);
disp('MAT A2 is ');
disp(A2);
disp('MAT b is ');
disp(b);
disp('detA1 is ');
disp(det(A1));
disp('detA2 is ');
disp(det(A2));
disp('cond(A1,1) is ');
disp(cond(A1,1));
disp('cond(A1,2) is ');
disp(cond(A1,2));
disp('cond(A1,inf) is ');
disp(cond(A1,inf));
%列主元消去法          
disp('在（1）中的情况：');
A = A1;
B = [A,b];
n = length(b);
rankA=rank(A);
rankB=rank(B);
if rankB-rankA>0
    disp('此方程组无解.\n')
end
if rankA==rankB
    if rankA==n
        fprintf('rankA=rankB=%d,有唯一解.\n',n)
        X=zeros(n,1);
        for p=1:n-1
              t=find(abs(B(p:end,p))==max(abs(B(p:end,p))))+p-1;
              if abs(B(t,p))~=abs(B(p,p))
                    l=B(t,:);
                    B(t,:)=B(p,:);
                    B(p,:)=l;
              end  %列主元判断
              for k=p+1:n     
                    m= B(k,p)/ B(p,p);
                    B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
              end
        end
        %把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵
        b=B(1:n,n+1);
        A=B(1:n,1:n); 
        X(n)=b(n)/A(n,n);
        for q=n-1:-1:1
            X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
        end
        %从xn至x1逐个求解上三角方程组
    else
        disp('rankA=rankB<n，有无穷多解.')
        return
    end
end
disp('方程组的解为：');
disp(X)
%列主元消去法          
disp('在（2）中的情况：');
A = A2;
B = [A,b];
n = length(b);
rankA=rank(A);
rankB=rank(B);
if rankB-rankA>0
    disp('此方程组无解.\n')
end
if rankA==rankB
    if rankA==n
        fprintf('rankA=rankB=%d,有唯一解.\n',n)
        X=zeros(n,1);
        for p=1:n-1
              t=find(abs(B(p:end,p))==max(abs(B(p:end,p))))+p-1;
              if abs(B(t,p))~=abs(B(p,p))
                    l=B(t,:);
                    B(t,:)=B(p,:);
                    B(p,:)=l;
              end  %列主元判断
              for k=p+1:n     
                    m= B(k,p)/ B(p,p);
                    B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
              end
        end
        %把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵
        b=B(1:n,n+1);
        A=B(1:n,1:n); 
        X(n)=b(n)/A(n,n);
        for q=n-1:-1:1
            X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
        end
        %从xn至x1逐个求解上三角方程组
    else
        disp('rankA=rankB<n，有无穷多解.')
        return
    end
end
disp('方程组的解为：');
disp(X)
%use matlib 
%disp('使用matlib直接求解');
%disp(A2\b);
```



结果

```
>> Untitled
（1）中为A1   （2）中为A2
MAT A1 is 
    3.0100    6.0300    1.9900
    1.2700    4.1600   -1.2300
    0.9870   -4.8100    9.3400
MAT A2 is 
    3.0000    6.0300    1.9900
    1.2700    4.1600   -1.2300
    0.9900   -4.8100    9.3400
MAT b is 
     1
     1
     1
detA1 is 
   -0.0305
detA2 is 
   -0.4070
cond(A1,1) is 
   5.5228e+04
cond(A1,2) is 
   3.0697e+04
cond(A1,inf) is 
   5.6751e+04
在（1）中的情况：
rankA=rankB=3,有唯一解.
方程组的解为：
   1.0e+03 *
    1.5926
   -0.6319
   -0.4936
在（2）中的情况：
rankA=rankB=3,有唯一解.
方程组的解为：
   56.3415
  -22.1547
  -17.3024
```

MATLAB 列主元消去法 解方程组

Matlab





```
clc
clear
n=input('请输入矩阵的阶数n：');
A=zeros(n);
%构造矩阵A
for m=1:n
    A(m,m)=20;
end
for m=1:n-1
    A(m,m+1)=-8;
    A(m+1,m)=-8;
end
for m=1:n-2
    A(m,m+2)=1;
    A(m+2,m)=1;
end
disp(A)
%%%%%%%%%%%%%%Jacobi迭代法求解
%用矩阵X的行向量来存放每一次迭代的解
for m=1:n
    X(1,m)=1;
    Y(1,m)=0;
end
fs=1;  %设置初始值，以便开始下方的循环
t=1;
while fs >10^(-6)
    for p=1:n
        Y(t,:)=X(t,:);   %第t次迭代
        Y(t,p)=0;   %与解有关，与第几次迭代无关
        X(t+1,p)=-Y(t,:)*A(p,:)'/A(p,p);   %第t次迭代的第p个解
    end
    C=zeros(1,n);
    for u=1:n
        C(u)=abs(X(t+1,u));
    end
    fs=max(C);
    t=t+1;
end
t-1      %显示迭代次数
```

MATLAB Jacobi迭代法求解

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% f(x)=(10/x)^2*sin(10/x);
% 10个子区间 每个子区间n=4 复合高斯勒让德求积分
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
XX=[-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459]; %查表得到的取点
AA=[0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851];%查表得到的系数
x=linspace(1,3,11); %取10个子区间 也就是11个x坐标点
integral_zi=zeros(1,10); %记录每个子区间的积分结果
for cycles=1:10    %计算10个子区间积分
    a=x(cycles);   %每个子区间的左端点
    b=x(cycles+1);%每个子区间的右端点
    S=0;  %结果暂时存
    for k=1:5  %迭代算高斯勒让德公式的每一项
        tt=(b-a)/2*XX(k)+(a+b)/2; %变换积分区间为-1为1
        S=S+AA(k)*(10/tt)^2*sin(10/tt);  %算出-1到1上的高斯勒让德积分
    end
    integral_zi(cycles)=(b-a)/2*S;  %补上系数(b-a)/2 得到子区间积分结果
end
integral=sum(integral_zi);  %10个子区间的积分结果相加 
fprintf("积分结果是    %f\r\n",integral); %打印积分结果
```

结果
```
积分结果是    -1.426025
```

matlab 10个子区间 每个子区间n=4 复合高斯勒让德 求积分

Matlab





```
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% Written by QQ742971636
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
% 计算实习题1    使用各种迭代法解分线性方程x^3+2*x^2+10*x-20=0.
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
clc,clear
leonardo_x=1.368808107;                                    %勒让德得到的解
initx=1.0;                                                              %迭代值的初始值
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析第 1 种迭代法是否收敛x=20/(x^2+2*x+10)
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
fai=20/(x^2+2*x+10);                                            %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y1 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y1=abs(y1);                                                         %绝对值
fprintf('第 1 种方法，x=20/(x^2+2*x+10)，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y1));
if(y1<1)                                                                %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    x=initx;                                                             %赋解的初值
    n=0;                                                                 %迭代次数
    while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                         %一直计算到勒让德解的精度
        x=20/(x^2+2*x+10);                                      %迭代公式计算
        n=n+1;                                                        %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| 大于1，不收敛\r\n");
end
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  第 1 种方法收敛，使用Steffensen法加速收敛速度
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
x=initx;                                                                 %赋解的初值
n=0;                                                                     %迭代次数
while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                             %一直计算到勒让德解的精度
    y=20/(x^2+2*x+10);                                          %迭代公式计算
    z=20/(y^2+2*y+10);                                          %迭代公式计算
    x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);                                       %迭代公式计算
    n=n+1;                                                            %迭代次数增加一次
end
fprintf(" 使用Steffensen法加速，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
fprintf("\r\n");
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析第 2  种迭代法是否收敛 x=(20-2*x^2-x^3)/10.0
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
fai=(20-2*x^2-x^3)/10.0;                                       %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y1 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y1=abs(y1);                                                         %绝对值
fprintf('第 2 种方法，x=(20-2*x^2-x^3)/10.0，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y1));
if(y1<1)                                                                %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    x=initx;                                                             %赋解的初值
    n=0;                                                                 %迭代次数
    while(abs(x-leonardo_x)>1e-9)                         %一直计算到勒让德解的精度
        x=(20-2*x^2-x^3)/10.0;                                  %迭代公式计算
        n=n+1;                                                         %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",x,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| >1，不收敛\r\n");
end
fprintf("\r\n");
% -----------------------------------------------------------------------------------------------
%  分析Newton迭代法是否收敛
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
syms x
y1=x^3+2*x^2+10*x-20;                                       %迭代公式一部分
y2=diff(y1);                                                          %计算导函数
fai=x-y1/y2;                                                          %x=fai(x)
y=diff(fai);                                                            %计算导函数
y3 = subs(y,x,1.368808107);                                %求在x0处的导数值
y3=abs(y3);                                                         %绝对值
fprintf('第 3 种方法，Newton法，|fai`(x*)| =%.10f\r\n',double(y3));
if(y3<1)                                                               %有y=|fai`(x*)|<1收敛
    xk=initx;                                                           %赋解的初值
    n=0;                                                                %迭代次数
    while(abs(xk-leonardo_x)>1e-9)                       %一直计算到勒让德解的精度
        xk=double(subs(fai,x,xk));                            %迭代公式计算
        n=n+1;                                                        %迭代次数增加一次
    end
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 %.10f，迭代了%d次\r\n",xk,n);
else                                                                     %有y=|fai`(x*)|>1不收敛
    fprintf(" 该方法|fai`(x*)| 大于1，不收敛\r\n");
end
```


结果

```
第 1 种方法，x=20/(x^2+2*x+10)，|fai`(x*)| =0.4438283287
 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 1.3688081065，迭代了24次
 使用Steffensen法加速，最后解是 1.3688081078，迭代了3次
第 2 种方法，x=(20-2*x^2-x^3)/10.0，|fai`(x*)| =1.1096139329
 该方法|fai`(x*)| >1，不收敛
第 3 种方法，Newton法，|fai`(x*)| =0.0000000005
 该方法|fai`(x*)| <1，收敛，最后解是 1.3688081078，迭代了4次
```

matlab 使用各种迭代法解分线性方程x^3+2*x^2+10*x-20=0

Matlab





```
clc,clear
syms x
nd=1e21*erfc(x/2/sqrt(4.85*(1e-14)*360000));
q=1.6*1e-19;
xi=1e-4;
nx=nd+1e16;
u=65+1265/(1+(nd/8.5/1e16)^0.72);
f=int(u*q*nx,x,0,xi);
rs=1/f;
rs=vpa(rs);
disp(rs);
clear;
syms x
dudu=int(1e21*erfc(x/2/sqrt(4.85*(1e-14)*3600)),x,0,1e-4);
dudu=double(dudu);
disp(dudu);
x=linspace(0,7.1*10^(-4),300);
t=1*3600.0;
temp=exp(-x.^2/4/4.85/(1e-14)/t);
y1=temp*dudu/sqrt(pi*4.85*(1e-14)*t);
plot(x,y1,':r+')
hold on
t=10*3600.0;
temp=exp(-x.^2/4/4.85/(1e-14)/t);
y1=temp*dudu/sqrt(pi*4.85*(1e-14)*t);
plot(x,y1,'-.g.')
t=100*3600.0;
temp=exp(-x.^2/4/4.85/(1e-14)/t);
y1=temp*dudu/sqrt(pi*4.85*(1e-14)*t);
plot(x,y1,'--b+')
legend("t= 1*3600 s","t=10*3600 s","t=100*3600 s")
xlabel("thickness   unit:cm")%x轴标记
ylabel("concentration C(c,t)  unit:cm\^(-3)")%y轴标记
title("concentration")%标题
```

最后效果图：

![在这里插入图片描述](/static/img/images/02783.png)